Ένας διάσημος και βετεράνος πλέον Βρετανός μαθηματικός, ο 89χρονος Μάικλ Ατίγια, ανακοίνωσε ότι έλυσε τη λεγόμενη «Υπόθεση Ρίμαν», η οποία παραμένει άλυτη από το 1859 που την παρουσίασε ο γερμανός μαθηματικός Γκέοργκ Μπέρνχαρντ Ρίμαν.
Η Υπόθεση Ρίμαν, που σχετίζεται με την κατανομή των πρώτων αριθμών (δηλαδή αυτών που διαιρούνται μόνο με τον αριθμό ένα και με τον εαυτό τους), θεωρείται από μερικούς μαθηματικούς το σημαντικότερο άλυτο πρόβλημα των θεωρητικών μαθηματικών, γι′ αυτό οποιαδήποτε προτεινόμενη λύση της προκαλεί διεθνές ενδιαφέρον.
Ωστόσο, σε περίπτωση που ο συγκεκριμένος μαθηματικός «κερδίσει το εκατομμύριο», αφού έφτασε στη λύση του προβλήματος Ρίμαν, υπάρχουν άλλα πέντε άλυτα προβλήματα που δίνουν την ευκαιρία σε φιλόδοξους επιστήμονες να ... φτάσουν στην κορυφή.
Αυτά είναι τα πέντε άλυτα προβλήματα της χιλιετίας:
Εικασία των Birch και Swinnerton-Dyer: Πόσες ακέραιες λύσεις έχει π.χ. η εξίσωση ψ=x-x+1; Παραμένει άλυτη 40 χρόνια
Οι μαθηματικοί γοητεύονταν πάντα από την εύρεση όλων των λύσεων στο πεδίο των ακεραίων αριθμών, εξισώσεων όπως η παρακάτω x + ψ = z, όπου οι x, ψ και z είναι ακέραιοι αριθμοί. Μια λύση είναι η 3 + 4=5. Εδώ και πάνω από 2.000 χρόνια, ο Ευκλείδης Βρήκε ένα γενικό τύπο που δίνει όλες τις πιθανές λύσεις (είναι άπειρες), αλλά σε πιο περίπλοκες εξισώσεις η εύρεση όλων των λύσεων είναι πράγμα εξαιρετικά δύσκολο.
Στα 1970 ο Yu. V. Matiyasevich έδειξε ότι το 10ο πρόβλημα του Hilbert είναι αδύνατο. Δηλαδή έδειξε ότι δεν υπάρχει γενική μέθοδος που να μας δείχνει πότε οι εξισώσεις αυτές έχουν λύση στο πεδίο των ακεραίων αριθμών.
Ωστόσο, είναι σημαντικό να μπορεί κανείς να εκτιμήσει αν υπάρχει ένας πεπερασμένος ή άπειρος αριθμός λύσεων με ακέραιους αριθμούς για μια δεδομένη εξίσωση.
Ας πάρουμε για παράδειγμα τις λεγόμενες ελλειπτικές καμπύλες. Βασικά θα μπορούσαμε να πούμε ότι πρόκειται για αλγεβρικές εξισώσεις σαν την παρακάτω y = x + ax + b, που ορίζουν επιφάνειες στο χώρο με μορφή σαμπρέλας.
Κάθε ελλειπτική καμπύλη είναι μια αβελιανή ομάδα και τα σημεία πάνω σ′ αυτήν με συντεταγμένες ρητούς αριθμούς σχηματίζουν μια υποομάδα. Πότε υπάρχουν άπειρα τέτοια ρητά σημεία;
Στα 1965 οι Birch και Swinnerton-Dyer ισχυρίστηκαν ότι υπάρχει ένα κριτήριο που περιλαμβάνει ένα μαθηματικό αντικείμενο που λέγεται L-συνάρτηση της ελλειπτικής καμπύλης. Η εικασία των Birch-Swinnerton-Dyer λέει ότι L(1) = 0 αν και μόνο αν η ελλειπτική καμπύλη έχει άπειρα ρητά σημεία. Αν δηλαδή L(1) = 0 τότε υπάρχουν άπειρα ρητά σημεία επί της καμπύλης ή με άλλα λόγια άπειρες λύσεις της παραπάνω εξίσωσης. Ενώ αντίστροφα αν L(1) δεν ισούται με μηδέν τότε υπάρχει μόνο πεπερασμένος αριθμός ρητών λύσεων της εξίσωσης.
Αν μπορούσε να αποδειχτεί αυτή η εικασία θα έριχνε πολύ φως και στη λύση των Διοφαντικών εξισώσεων, μια από τις οποίες ανάγεται στον 10ο αιώνα μ.Χ. και στην οποία ζητείται να βρεθούν ποιοι ακέραιοι αριθμοί μπορούν να εμφανιστούν ως εμβαδά ορθογωνίων τριγώνων, των οποίων οι πλευρές έχουν ως μήκη ρητούς αριθμούς.
P versus NP Υπάρχει μια ιδανική διάταξη συνδαιτυμόνων; - παραμένει άλυτη 30 χρόνια
Υποθέστε ότι πρέπει να κάνετε μια λίστα για το πώς θα καθίσουν οι καλεσμένοι σε ένα μεγάλο εορταστικό δείπνο. Έχετε 400 άτομα στον κατάλογο σας, αλλά πρέπει να επιλέξετε μόνο 100 από αυτούς, καθώς δεν υπάρχει χώρος για περισσότερους. Επίσης, έχετε άλλη μια λίστα από ζεύγη αυτών των ανθρώπων, κι έτσι κανένα από αυτά τα ζευγάρια δεν πρέπει να εμφανιστεί στον τελικό κατάλογο των καλεσμένων που θα καθίσουν στο τραπέζι.
Το πρόβλημα αυτό είναι ένα παράδειγμα από αυτά που η πληροφορική αποκαλεί ΝΡ προβλήματα. Είναι εύκολο να ελέγξουμε αν μια συγκεκριμένη λίστα 100 ατόμων από τους 400 ικανοποιεί το κριτήριό μας να μην υπάρχουν ασύμβατα μεταξύ τους ζευγάρια στο τραπέζι. Το να δημιουργήσουμε όμως εμείς μια τέτοια λίστα από τους 400 είναι τόσο δύσκολο που μοιάζει να μην είναι πρακτικά δυνατόν. Μάλιστα, ο αριθμός των εναλλακτικών τρόπων που μπορούμε να πάρουμε 100 καλεσμένους από τους 400 είναι μεγαλύτερος από το σύνολο των ατόμων που υπάρχουν στο σύμπαν, γι′ αυτό και το πρόβλημα δε θα μπορούσε να λυθεί ούτε καν με τη βοήθεια του ισχυρότερου υπερυπολογιστή στον κόσμο.
Μπορεί όμως η δυσκολία αυτή να δείχνει απλά ότι προσεγγίζουμε προγραμματιστικά το πρόβλημα με λάθος μέθοδο. Υπάρχει άραγε ένας έξυπνος τρόπος να λυθεί το πρόβλημα; Το πρόβλημα αυτού του τύπου, «Ρ versus ΝΡ» -όπως λέγεται- εμφανίστηκε τη δεκαετία του 1970. Οι Stephen Cook και Leonid Levin διατύπωσαν αυτό το πρόβλημα όπου το Ρ σημαίνει εύκολο να βρεθεί λύση και το ΝΡ σημαίνει εύκολο να ελεγχθεί, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο κατά το 1971. Γενικά, έχει να κάνει με το αν όντως υπάρχουν προβλήματα τα οποία είναι εύκολο να ελεγχθούν αλλά πρακτικά αδύνατο να λυθούν με άμεσες αλγοριθμικές διαδικασίες.
Για προβλήματα όπως το παραπάνω, κανείς μέχρι σήμερα δεν έχει καταφέρει να δείξει ότι η λύση τους δεν είναι εφικτή με κατάλληλη προγραμματιστική μέθοδο.
Το πρόβλημα «Ρ versus NP» είναι θεμελιώδες για την ασφάλεια των υπολογιστών. Κι αυτό γιατί, όταν κρυπτογραφούνται ψηφιακά οι χρηματικές συναλλαγές, χρησιμοποιούνται αλγόριθμοι των οποίων η λύση ελέγχεται εύκολα αλλά δύσκολα βρίσκεται - μεταξύ άλλων, με κλειδιά κρυπτογράφησης που περιέχουν πρώτους αριθμούς. Αν αποδειχθεί ότι ένας ικανός προγραμματιστής μπορεί να βρει ένα σύντομο δρόμο για τη λύση τους, τότε το «σπάσιμο» της κρυπτογράφησης των πληρωμών με πιστωτικές κάρτες ίσως καταστεί εφικτό.
Υπόθεση του Χοτζ: Μπορούν τα σχήματα να εξηγηθούν γεωμετρικά; - παραμένει άλυτη 70 χρόνια
Πρόκειται για ένα από τα σημαντικότερα άλυτα μαθηματικά προβλήματα της αλγεβρικής γεωμετρίας. Κατά τη διάρκεια του 20ού αιώνα, πολλοί μαθηματικοί ανακάλυψαν καλές μεθόδους έρευνας περίπλοκων αντικειμένων. Η βασική ιδέα αφορά το ερώτημα, σε ποιο βαθμό μπορούμε να πλησιάσουμε τη μορφή ενός δεδομένου αντικειμένου, κολλώντας μεταξύ τους απλά γεωμετρικά δομικά στοιχεία, αυξανόμενου μεγέθους.
Η τεχνική αυτή αποδείχθηκε τόσο χρήσιμη, που γενικεύθηκε με πολλούς διαφορετικούς τρόπους, οδηγώντας τελικά στη δημιουργία πανίσχυρων εργαλείων, που επέτρεψαν στους μαθηματικούς να πραγματοποιήσουν άλματα στην ταξινόμηση της ποικιλίας αντικειμένων, που συναντούσαν στις έρευνές τους. Δυστυχώς, η γεωμετρική προέλευση της μεθόδου χάθηκε μέσα στην περιπλοκότητα του ορισμού της. Υπό μία έννοια, κατέστη αναγκαίο να προστεθούν τμήματα που στερούνταν γεωμετρικής ερμηνείας. Η υπόθεση του Χοτζ έρχεται να βάλει τάξη σε αυτό το χάος, δημιουργώντας μια γέφυρα μεταξύ αλγεβρικών δομών και της γεωμετρίας τους. Προέκυψε ως αποτέλεσμα του ερευνητικού έργου του μαθηματικού Χ. Ντ. Χοτζ μεταξύ 1930 και 1940.
Η θεωρία των Yang - Mills και το χάσμα της μάζας Παραμένει μαθηματικά αναπόδεικτο εδώ και 43 χρόνια
Η θεωρία των Yang-Mills, αν και αναπόδεικτη, αποτελεί θεμέλιο λίθο στην μελέτη των στοιχειωδών σωματιδίων. Ικανή να περιγράψει επιτυχώς τις ισχυρές αλληλεπιδράσεις των σωματιδίων, η θεωρία που επί περίπου μισό αιώνα παραμένει άλυτη μπορεί να έχει ελεγχθεί αμέτρητες φορές πειραματικά, όμως ακόμα δεν έχει θεμελιωθεί μαθηματικά. Το λεγόμενο «χάσμα της μάζας» που προκύπτει όταν τα σωματίδια αποκτούν την ταχύτητα του φωτός παραμένει άλυτος γρίφος για τους επιστήμονες, ενώ εικάζεται πως για την λύση του προβλήματος θα χρειαστούν... καινούργιες ιδέες τόσο στα μαθηματικά, όσο και στην φυσική.
Εξισώσεις Navier-Stokes: Μπορούν να περιγραφούν τα κύματα; παραμένει άλυτη εδώ και 150 χρόνια
Οι εξισώσεις Navier-Stokes είναι ένα σύνολο εξισώσεων οι οποίες περιγράφουν την κίνηση των ρευστών όπως είναι τα υγρά και τα αέρια. Οι εξισώσεις αυτές μας λένε πως οι μεταβολές στην ορμή ενός απειροστού όγκου του ρευστού είναι απλά το αθροιστικό αποτέλεσμα των δυνάμεων ιξώδους του ρευστού, των μεταβολών της πίεσης, της βαρύτητας και των άλλων δυνάμεων που δρουν εντός του ρευστού. Πρόκειται στην ουσία για εφαρμογή του 2ου νόμου του Νewton στα ρευστά. Αφορούν δηλαδή τη δυναμική της αλληλεπίδρασης της αδράνειας του ρευστού με τις διάφορες δυνάμεις που δρουν σε μια περιοχή του ρευστού.
Είναι από τα πιο χρήσιμα σύνολα εξισώσεων γιατί εφαρμόζονται σε μοντέλα καιρού, μοντέλα ωκεάνιων ρευμάτων, ροή ρευστών σε σωλήνες, ροή αέρα γύρω από πτέρυγες αεροπλάνων και ανεμογενητριών, κίνηση άστρων μέσα στο γαλαξία κ.ο.κ. Σε συνδυασμό εξάλλου με τις εξισώσεις Maxwell μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να κάνουμε εξομοιώσεις και μα μελετήσουμε μοντέλα μαγνητοϋδροδυναμικής.
Οι εξισώσεις Navier-Stokes είναι διαφορικές εξισώσεις. Σε αντίθεση δηλαδή με τις αλγεβρικές εξισώσεις δεν μας δείχνουν εκπεφρασμένα μια σχέση μεταξύ των μεγεθών που μας ενδιαφέρουν (π.χ. μεταξύ ταχύτητας και πίεσης) αλλά περιγράφουν σχέσεις μεταξύ των ρυθμών μεταβολής ή μεταξύ των ροών των διαφόρων μεγεθών. Με όρους μαθηματικούς λέμε ότι οι εξισώσεις αυτές περιέχουν σχέσεις μεταξύ των παραγώγων των διαφόρων μεγεθών. Για παράδειγμα, οι εξισώσεις Navier-Stokes για την πιο απλή περίπτωση ενός ιδανικού ρευστού (χωρίς ιξώδες) μας λέει ότι η επιτάχυνση δηλ. η παράγωγος της ταχύτητας είναι ανάλογη με τη βαθμίδα (δηλ. την παράγωγο ως προς τις 3 χωρικές συντεταγμένες) της εσωτερικής πίεσης του ρευστού.
Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι μόνο οι πιο απλές περιπτώσεις αυτών των εξισώσεων μπορούν να λυθούν μέσα στα πλαίσια του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού και να μας οδηγήσουν σε ακριβείς λύσεις. Οι περιπτώσεις αυτές γενικά περιλαμβάνουν μόνο ροή χωρίς στροβίλους σε μόνιμες καταστάσεις. Δηλαδή καταστάσεις που δεν αλλάζουν με τον χρόνο. Στις καταστάσεις αυτές είτε το ιξώδες του ρευστού είναι πολύ μεγάλο, είτε η ταχύτητα ροής πολύ μικρή.
Για πιο περίπλοκες καταστάσεις, όπως είναι τα παγκόσμια συστήματα καιρού σαν το φαινόμενο El Nino, οι λύσεις των εξισώσεων Navier-Stokes πρέπει να βρεθούν με τη βοήθεια υπολογιστών. Πράγματι, έχει αναπτυχθεί μια ποικιλία υπολογιστικών προγραμμάτων που χρησιμοποιούν αριθμητικές μεθόδους για τη λύση των εξισώσεων Navier-Stokes. Η προσέγγιση αυτή της αντιμετώπισης του ζητήματος είναι γνωστή ως Υπολογιστική Δυναμική των Ρευστών (CFD). Αν και θεωρητικά η CFDδουλεύει σε κάθε περίπτωση ροής, πολλές συνηθισμένες περιπτώσεις ροής όπως είναι η ροή γύρω από μια πτέρυγα αεροπλάνου, περιέχει τόσο πολλές λεπτομέρειες που κανένα πρόγραμμα υπολογιστή δεν μπορεί να λύσει το πρόβλημα σε λογικό χρονικό διάστημα.
Το έπαθλο του ενός εκατομμυρίου δολαρίων του ινστιτούτου Clay, θα δοθεί σε όποιον κάνει μια σοβαρή πρόοδο προς μια μαθηματική θεωρία που θα βοηθήσει στην κατανόηση και το ξεπέρασμα των δυσκολιών που κρύβουν αυτές οι μαθηματικές εξισώσεις.